Os Elementos, de Euclides

“Os Elementos” é um tratado matemático e geométrico que consiste de 13 livros escritos pelo matemático grego Euclides, em Alexandria, por volta de 300 a.C.. Ele engloba uma coleção de definições, postulados, proposições e provas matemáticas destas proposições. Os livros cobrem a geometria euclidiana e a versão grega antiga da teoria elementar dos números. Ao que todo indica, ele pretendia reunir três grandes descobertas do seu tempo: a teoria das proporções de Eudoxo, a teoria dos números irracionais de Teeteto e a teoria dos cinco sólidos regulares.

Proclo, um matemático grego que viveu vários séculos depois de Euclides, escreveu em seu comentário sobre “Os Elementos”: “Euclides, que juntou os Elementos, coletando muitos dos teoremas de Eudoxo, aperfeiçoando muitos dos de Teeteto e também fornecendo demonstrações irrefutáveis de coisas que foram somente fracamente provadas por seus predecessores”.


A primeira edição impressa surgiu em 1482. Em 1570, John Dee escreveu um “Prefácio Matemático” amplamente respeitado, junto com fartas notas e material suplementar à primeira edição inglesa por Henry Billingsley (frontispício na figura acima). Em 1768, Angelo Brunelli publicou uma tradução em língua portuguesa dos Livros de I a VI, XI e XII. Cópias do texto grego ainda existem, algumas das quais podem ser encontradas na Biblioteca do Vaticano e na Biblioteca Bodleiana em Oxford. Os manuscritos disponíveis são de qualidade variada e sempre incompletos. Por meio de uma análise minuciosa dos originais e das traduções, têm sido feitas hipóteses sobre o conteúdo dos textos originais, que estão todos perdidos. Na figura abaixo, um fragmento de “Os Elementos” encontrado no final do séc. XIX.


A primeira passagem difícil do Livro I é chamada de “pons asinorum”, que em latim significa “ponte de burros”. Ela contém, dentre outras, as seguintes importantes definições:
I) Ponto é o que não tem partes nem grandeza alguma;
II) Linha é o que tem comprimento e não tem largura;
III) As extremidades da linha são pontos;
IV) Linha reta é aquela que está posta igualmente entre as suas extremidades;
V) Superfície é o que tem comprimento e largura;
VI) As extremidades da superfície são linhas.

Dentre os cinco postulados, há que se destacar o último, chamado de “Postulado das Paralelas”. Euclides o utilizou apenas esparsamente ao longo do resto de “Os Elementos”. Muitos geômetras suspeitaram de que ele poderia ser provado a partir dos outros postulados, mas todas as tentativas nesse sentido falharam. Em meados do século XIX, foi demonstrado que não existia prova, pois é possível construir geometrias não-euclidianas onde o postulado das paralelas é falso, enquanto os outros postulados permanecem verdadeiros. Por essa razão, os matemáticos dizem que o quinto postulado é independente dos demais. Duas alternativas ao postulado das paralelas são: ou um número infinito de paralelas pode ser traçado através de um ponto não em uma linha reta, formando uma geometria hiperbólica, ou nenhuma pode, como em uma geometria elíptica.

Referência: Wikipedia